Température d'une boisson dans une bouteille isotherme

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Une bouteille isotherme est conçue pour conserver des boissons chaudes ou froides. Une entreprise a développé une bouteille isotherme avec un afficheur de la température de la boisson. À l’issue de la réalisation d’un prototype, les techniciens réalisent une série de tests pour contrôler la qualité du produit. Le premier critère restant à valider pour respecter le cahier des charges de l’entreprise, et ainsi passer à la mise en place de la chaîne de production industrielle, est que la variation de température d’une boisson doit être inférieure ou égale à \(5 \;^\circ \text{C}\) avec une tolérance de \(0{,}5 \;^\circ \text{C}\) au bout de \(8\) heures pour une température extérieure de \(\theta_{ext} = 20{,}0 \;^\circ \text{C}\).
L’évolution de la température (en \(^\circ \text{C}\) ) de la boisson en fonction du temps (en heures) est modélisée par la fonction \(f\) solution de l’équation différentielle suivante \((E) : y^{\prime} = − 0{,}044y + 0{,}88\) où \(y\) est une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) et \(y^{\prime}\) sa dérivée.

1. Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation différentielle \((E)\).
2. Sachant que la température initiale de la boisson est de \(60 \;^\circ \text{C}\), déterminer la fonction \(f\), solution de \((E)\) qui vérifie cette condition initiale.
3. En déduire la température de la boisson au bout de \(8\) heures. Indiquer si le premier critère est vérifié.